Analytical solutions of plane elasticity problems Part I: Elastic regions weakened by elliptic holes

Abstract

La méthode de Kolossov et Muskhelishvili fourni un cadre général de résolution des problèmes d\'élasticité plane. Elle est basée sur l\'introduction d\'une fonction bi-harmonique de contraintes ou fonction d\'Airy et la théorie des fonctions complexes. Jusqu\'à présent, sa mise en oeuvre effective pour une approche analytique était souvent limitée par la complexité des procédures calculatoires. Le calcul exact du champ de contraintes ou du facteur d\'intensité de contraintes dans un milieu fissuré se complique rapidement et décourage à raison le plus zélé des calculateurs. Les rares résultats qui existent sont en général obtenus par des méthodes numériques et souffrent dès lors d\'un particularisme qui restreint leur domaine d\'application. Il en est de même des méthodes analytiques approchées qui ne proposent que des résultats asymptotiques valables seulement au
voisinage immédiat d\'une fissure, par exemple. La souplesse et les énormes possibilités de programmation qu\'offrent actuellement les outils de calcul formel tels que Mathematica permettent d\'envisager raisonnablement une approche analytique exacte autrefois laborieuse car faisant appel à des procédures mathématiques assez compliquées.
Cette méthode a donc été appliquée à la détermination des expressions analytiques (en conservant sous leur forme symbolique tous les paramètres liés à la géométrie et au chargement) des champs de contraintes et de déplacements dans une plaque élastique sous diverses sollicitations et comportant un trou elliptique. Le cas limite d\'une fissure elliptique permet de déduire des expressions plus complètes que celles asymptotiques largement utilisées en Mécanique de la Rupture.
The present study deals with the analytic resolution of fundamental problems of the plane elasticity theory. Based
on the general framework suggested by Kolossov and Muskhelishvili through the complex representation theory, the investigation aims to determine analytical expressions of stress and displacements fields inside an elastic plate containing elliptic holes and subjected to some specific boundary conditions. This analytic approach, initially difficult to perform, is
associated to a computer algebra system like Mathematica to overcome computations difficulties arising when one attempts to calculate the exact analytic solutions. Obtained results precise the validity of asymptotic solutions, widely used in fracture mechanics. Some specific aspects of the fracture mechanics such as iso-stress lines at the crack vicinity are also analyzed.
Keywords: Calcul formel, Intégral de Cauchy, Elasticité plane, Transformation conforme, Fonctions analytiques;Computer algebra, Cauchy Integral, Plane elasticity theory, Conformal mapping, Analytical functions.

Journal des Sciences Pour l\'Ingénieur. Vol. 8 2007: pp. 62-73