Another look at Second order condition in Extreme Value Theory

Abstract

This note compares two approaches both alternatively used when establishing normality theorems in univariate Extreme Value Theory. When the underlying distribution function (df) is the extremal domain of attraction, it is possible to use representations for the quantile function and regularity conditions (RC), based on these representations, under which strong and weak convergence are valid. It is also possible to use the now fashion second order condition (SOC), whenever it holds, to do the same. Some authors usually favor the first approach (the SOC one) while others are fond of the second approach that we denote as the representational one. This note aims at comparing the two approaches and show how to get from one to the other. The auxiliary functions used in each approach are computed and compared. Statistical applications using simultaneously both approaches are provided. A final comparison is provided.

Cet article compare deux approches couramment et alternivement utilis´ees en vue d’´etablir des r´esultats de normalit´e asymptotique en Th´eorie des Valeurs Extrmes. Lorsque la fonction de r´epartition (fr) est dans le domaine d’attraction exremal, il est possible d’utiliser des hypothses bas´ees sur les repr´esentations des quantiles, et sous lesquelles des r´esultats de convergence forte, faible et/ou de loi sont ´etablis. Il est aussi possible d’utiliser une m´ethode devenue standard, dite celle du second ordre. Chacune est associ´ee `a des fonctions dites auxilliaires, servant `a exprimer les conditions de validit´e des r´esultats asymptotiques. L’une de ces deux m´ethodes est utilis´ee selon les auteurs. Dans ce papier, nous exposons une ´etude comparative et montrons comment passer de l’une `a l’autre par le biais des fonctions auxilliaires. Cette ´etude permet une lecture comparative des articles selon l’approche utilis´ee. Deux exemples, le processus des grands quantiles et le processus de Hill fonctionnel, sont propos´es comme
exemples statistiques.

Key words: Extreme value theory; Quantile functions; Quantile representation; Theorem of Karamata; Slowly and regularly variation; Second order condition; Statistical estimation; Asymptotic normality.