Stein’s method in two limit theorems involving the generalized inverse Gaussian distribution

Abstract

On one hand, the generalized hyperbolic (GH) distribution converges in law to the generalized inverse Gaussian (GIG) distribution under certain conditions on the parameters. On the other hand, when the edges of an infinite rooted tree are equipped with independent resistances whose distributions are inverse Gaussian or reciprocal inverse Gaussian distributions, the total resistance converges almost surely to some random variable which follows the reciprocal inverse Gaussian (RIG) distribution. In this paper we provide explicit upper bounds for the distributional distance between the GH distribution (resp. the distribution of the total resistance of the tree) and their limiting GIG (resp. RIG) distribution applying Stein’s method.

Sous certaines conditions sur ses paramètres, la loi hyperbolique généralisé (GH) converge vers la loi gaussienne inverse généralisée (GIG). Lorsque les arêtes d’un arbre infini sont munies de résistances aléatoires indépendantes, de loi gaussienne inverse ou de loi gaussienne inverse réciproque, la résistance équivalente converge presque sûrement vers une variable aléatoire de loi gaussienne inverse réciproque (RIG). Dans cet article, nous déterminons des majorants explicites de la distance probabiliste entre la loi GH (resp. la loi d’un circuit arborescent) et la loi limite GIG (resp. RIG) en appliquant la méthode de Stein.